No campo matemático da teoria das categorias, o produto de duas categorias C e D, denotado por C × D e chamado de categoria de produto, é uma extensão do conceito de produto cartesiano de dois conjuntos. Categorias produto são usadas para definir bifuntores e multifuntores.
Definição A categoria produto C × D possui:
como objetos: pares de objetos (A, B), onde A é um objeto de C e B é um objeto de D; como setas (ou morfismos) de (A1, B1) para (A2, B2): pares de setas (f, g), onde f : A1 → A2 é uma seta de C e g : B1 → B2 é uma seta de D; como composição, a composição componente a componente das categorias de origem: (f2, g2) o (f1, g1) = (f2 o f1, g2 o g1); como identidades, pares de identidades das categorias de origem: 1(A, B) = (1A, 1B).
Relação com outros conceitos categóricos Para categorias pequenas, isso é o mesmo que a ação sobre objetos do produto categórico na categoria Cat. Um funtor cujo domínio é uma categoria produto é conhecido como um bifuntor. Um exemplo importante é o funtor Hom, que possui como domínio o produto da oposta de alguma categoria com a própria categoria original:
Hom : Cop × C → Set.
Generalização para vários argumentos Assim como o produto cartesiano binário é facilmente generalizado para um produto cartesiano n-ário, o produto binário de duas categorias pode ser generalizado, de forma completamente análoga, para um produto de n categorias. A operação de produto em categorias é comutativa e associativa, a menos de isomorfismo, e, portanto, essa generalização não traz nada de novo de um ponto de vista teórico.
Referências
Definição 1.6.5 em Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Col: Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. 1. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 22. ISBN 0-521-44178-1 product+category in nLab Mac Lane, Saunders (1978). Categories for the Working Mathematician Segunda ed. New York, NY: Springer New York. pp. 36–40. ISBN 1441931236. OCLC 851741862