Polinômios ortogonais no círculo unitário

Em matemática, os polinômios ortogonais no círculo unitário são famílias de polinômios que são ortogonais em relação à integração sobre o círculo unitário no plano complexo, para alguma medida de probabilidade no círculo unitário. Eles foram introduzidos por Szegő (1920, 1921, 1939).

Definição Seja

{\displaystyle \mu }

uma medida de probabilidade no círculo unitário

= { z ∈

= 1 }

{\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}

e suponha que

{\displaystyle \mu }

seja não trivial, isto é, que seu suporte seja um conjunto infinito. Por uma combinação dos teoremas de Radon-Nikodym e de decomposição de Lebesgue, qualquer medida desse tipo pode ser decomposta unicamente em

d μ = w ( θ )

d θ

2 π

+ d

{\displaystyle d\mu =w(\theta ){\frac {d\theta }{2\pi }}+d\mu _{s}}

, onde

{\displaystyle d\mu _{s}}

é singular em relação a

d θ

2 π

{\displaystyle d\theta /2\pi }

w ∈

(

)

{\displaystyle w\in L^{1}(\mathbb {T} )}

com

w d θ

2 π

{\displaystyle wd\theta /2\pi }

sendo a parte absolutamente contínua de

d μ

{\displaystyle d\mu }

. Os polinômios ortogonais associados a

{\displaystyle \mu }

são definidos como

( z ) =

ordem inferior

{\displaystyle \Phi _{n}(z)=z^{n}+{\text{ordem inferior}}}

, tais que

∫

z ̄

( z )

d μ ( z ) = 0 ,

j = 0 , 1 , ... , n − 1

{\displaystyle \int {\bar {z}}^{j}\Phi _{n}(z)\,d\mu (z)=0,\quad j=0,1,\dots ,n-1}

A recorrência de Szegő Os polinômios ortogonais mônicos de Szegő satisfazem uma relação de recorrência da forma

n + 1

( z ) = z

( z ) −

α ̄

∗

( z )

{\displaystyle \Phi _{n+1}(z)=z\Phi _{n}(z)-{\overline {\alpha }}_{n}\Phi _{n}^{*}(z)}

n + 1

∗

( z ) =

∗

( z ) −

( z )

{\displaystyle \Phi _{n+1}^{\ast }(z)=\Phi _{n}^{\ast }(z)-\alpha _{n}z\Phi _{n}(z)}

para

n ≥ 0

{\displaystyle n\geq 0}

e condição inicial

= 1

{\displaystyle \Phi _{0}=1}

, com

∗

( z ) =

( 1

z ̄

)

{\displaystyle \Phi _{n}^{*}(z)=z^{n}{\overline {\Phi _{n}(1/{\overline {z}})}}}

e constantes

{\displaystyle \alpha _{n}}

no disco unitário aberto

= { z ∈

< 1 }

{\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}

dadas por

= −

n + 1

( 0 )

{\displaystyle \alpha _{n}=-{\overline {\Phi _{n+1}(0)}}}

chamadas de coeficientes de Verblunsky. Além disso,

‖

n + 1

‖

∏

j = 0

( 1 −

) = ( 1 −

) ‖

‖

{\displaystyle \|\Phi _{n+1}\|^{2}=\prod _{j=0}^{n}(1-|\alpha _{j}|^{2})=(1-|\alpha _{n}|^{2})\|\Phi _{n}\|^{2}}

. O teorema de Geronimus afirma que os coeficientes de Verblunsky associados a

d μ

{\displaystyle d\mu }

são os parâmetros de Schur:

( d μ ) =

{\displaystyle \alpha _{n}(d\mu )=\gamma _{n}}

Teorema de Verblunsky O teorema de Verblunsky afirma que para qualquer sequência de números

{

( 0 )

}

j = 0

∞

{\displaystyle \{\alpha _{j}^{(0)}\}_{j=0}^{\infty }}

{\displaystyle \mathbb {D} }

existe uma única medida de probabilidade não trivial

{\displaystyle \mu }

{\displaystyle \mathbb {T} }

com

( d μ ) =

( 0 )

{\displaystyle \alpha _{j}(d\mu )=\alpha _{j}^{(0)}}

Teorema de Baxter O teorema de Baxter afirma que os coeficientes de Verblunsky formam uma série absolutamente convergente se e somente se os momentos de

{\displaystyle \mu }

formam uma série absolutamente convergente e a função peso

{\displaystyle w}

é estritamente positiva em toda parte.

Teorema de Szegő Para qualquer medida de probabilidade não trivial

d μ

{\displaystyle d\mu }

{\displaystyle \mathbb {T} }

, a forma de Verblunsky dos teoremas limites de Szegő afirma que

∏

n = 0

∞

( 1 −

) = exp ⁡

(

2 π

∫

2 π

log ⁡ w ( θ )

d θ

)

{\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }(1-|\alpha _{n}|^{2})=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta \right).}

O lado esquerdo é independente de

{\displaystyle d\mu _{s}}

mas, ao contrário da versão original de Szegő, onde

d μ = d

a c

{\displaystyle d\mu =d\mu _{ac}}

, a forma de Verblunsky permite

≠ 0

{\displaystyle d\mu _{s}\neq 0}

. Subsequentemente,

∑

n = 0

∞

< ∞

⟺

2 π

∫

2 π

log ⁡ w ( θ )

d θ > − ∞

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}<\infty \;\iff \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log w(\theta )\,d\theta >-\infty }

. Uma das consequências é a existência de um espectro misto para operadores de Schrödinger discretizados.

Teorema de Rakhmanov O teorema de Rakhmanov afirma que se a parte absolutamente contínua

{\displaystyle w}

da medida

{\displaystyle \mu }

for positiva em quase toda parte, então os coeficientes de Verblunsky

{\displaystyle \alpha _{n}}

tendem a 0.

Exemplos Os Polinômios de Rogers-Szegő são um exemplo de polinômios ortogonais no círculo unitário.

Ver também Problema do momento trigonométrico Classe de Schur

Notas

Referências Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010). «Orthogonal Polynomials on the unit circle». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248 Schmüdgen, Konrad (2017). The Moment Problem. Col: Graduate Texts in Mathematics. 277. Cham: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-3-319-64546-9 Simon, Barry (2005a). Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 1. Classical theory. Col: American Mathematical Society Colloquium Publications. 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3446-6. MR 2105088 Simon, Barry (2005b). Orthogonal polynomials on the unit circle. Part 2. Spectral theory. Col: American Mathematical Society Colloquium Publications. 54. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3675-0. MR 2105089 Simon, Barry (2010). Szegő's theorem and its descendants: spectral theory for L2 perturbations of orthogonal polynomials. [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14704-8 Szegő, Gábor (1920), «Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen», Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 6 (3–4): 167–202, doi:10.1007/BF01199955 Szegő, Gábor (1921), «Beiträge zur Theorie der Toeplitzschen Formen», Mathematische Zeitschrift, ISSN 0025-5874, 9 (3–4): 167–190, doi:10.1007/BF01279027 Szegő, Gábor (1995), Orthogonal Polynomials, ISBN 978-0-8218-1023-1, Colloquium Publications, XXIII, American Mathematical Society, MR 0372517 Totik, V. (2016). «Barry Simon and the János Bolyai International Mathematical Prize» (PDF). Springer Science and Business Media LLC. Acta Mathematica Hungarica. 149 (2): 263–273. ISSN 0236-5294. doi:10.1007/s10474-016-0618-x

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