Na matemática, especificamente na geometria algébrica, o produto fibrado de esquemas é uma construção fundamental. Ele tem muitas interpretações e casos especiais. Por exemplo, o produto fibrado descreve como uma variedade algébrica sobre um corpo determina uma variedade sobre um corpo maior, ou a imagem inversa (pullback) de uma família de variedades, ou uma fibra de uma família de variedades. Mudança de base (base change) é uma noção intimamente relacionada.
Definição A categoria dos esquemas é um cenário amplo para a geometria algébrica. Uma filosofia frutífera (conhecida como ponto de vista relativo de Grothendieck) é a de que grande parte da geometria algébrica deve ser desenvolvida para um morfismo de esquemas
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
(chamado de esquema
X
{\displaystyle X}
sobre
Y
{\displaystyle Y}
), em vez de para um único esquema
X
{\displaystyle X}
. Por exemplo, em vez de simplesmente estudar curvas algébricas, pode-se estudar famílias de curvas sobre qualquer esquema base
Y
{\displaystyle Y}
. De fato, as duas abordagens se enriquecem mutuamente. Em particular, um esquema sobre um anel comutativo
R
{\displaystyle R}
significa um esquema
X
{\displaystyle X}
juntamente com um morfismo
X → Spec ( R )
{\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}
. A noção mais antiga de uma variedade algébrica sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
é equivalente a um esquema sobre
k
{\displaystyle k}
com certas propriedades. (Existem diferentes convenções sobre exatamente quais esquemas devem ser chamados de "variedades". Uma escolha padrão é que uma variedade sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
significa um esquema separado e íntegro de tipo finito sobre
k
{\displaystyle k}
.) Em geral, um morfismo de esquemas
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
pode ser imaginado como uma família de esquemas parametrizada pelos pontos de
Y
{\displaystyle Y}
. Dado um morfismo de algum outro esquema
Z
{\displaystyle Z}
para
Y
{\displaystyle Y}
, deve haver uma família de esquemas "puxada de volta" (pullback) sobre
Z
{\displaystyle Z}
. Este é exatamente o produto fibrado
X
×
Y
Z → Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
.
Formalmente: é uma propriedade útil da categoria de esquemas que o produto fibrado sempre existe. Ou seja, para quaisquer morfismos de esquemas
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
e
Z → Y
{\displaystyle Z\to Y}
, existe um esquema
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
com morfismos para
X
{\displaystyle X}
e
Z
{\displaystyle Z}
, tornando o diagrama
comutativo, e que é universal com essa propriedade. Isto é, para qualquer esquema
W
{\displaystyle W}
com morfismos para
X
{\displaystyle X}
e
Z
{\displaystyle Z}
cujas composições para
Y
{\displaystyle Y}
sejam iguais, existe um único morfismo de
W
{\displaystyle W}
para
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
que faz o diagrama comutar. Como sempre ocorre com propriedades universais, essa condição determina o esquema
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
a menos de um único isomorfismo, se ele existir. A demonstração de que os produtos fibrados de esquemas sempre existem reduz o problema ao produto tensorial de anéis comutativos (cf. colagem de esquemas). Em particular, quando
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
e
Z
{\displaystyle Z}
são todos esquemas afins, de modo que
X = Spec ( A )
{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}
,
Y = Spec ( B )
{\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (B)}
e
Z = Spec ( C )
{\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (C)}
para alguns anéis comutativos
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
, o produto fibrado é o esquema afim
X
×
Y
Z = Spec ( A
⊗
B
C ) .
{\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}
O morfismo
X
×
Y
Z → Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
é chamado de mudança de base (base change) ou imagem inversa (pullback) do morfismo
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
através do morfismo
Z → Y
{\displaystyle Z\to Y}
. Em alguns casos, o produto fibrado de esquemas possui um adjunto à direita, a restrição de escalares.
Interpretações e casos especiais Na categoria de esquemas sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
, o produto
X × Y
{\displaystyle X\times Y}
significa o produto fibrado
X
×
k
Y
{\displaystyle X\times _{k}Y}
(que é uma abreviação para o produto fibrado sobre
Spec ( k )
{\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}
). Por exemplo, o produto de espaços afins
A
m
{\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}
e
A
n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}
sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
é o espaço afim
A
m + n
{\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}
sobre
k
{\displaystyle k}
. Para um esquema
X
{\displaystyle X}
sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
e qualquer extensão de corpos
E
{\displaystyle E}
de
k
{\displaystyle k}
, a mudança de base
X
E
{\displaystyle X_{E}}
significa o produto fibrado
X
×
Spec ( k )
Spec ( E )
{\displaystyle X\times _{\operatorname {Spec} (k)}\operatorname {Spec} (E)}
. Aqui,
X
E
{\displaystyle X_{E}}
é um esquema sobre
E
{\displaystyle E}
. Por exemplo, se
X
{\displaystyle X}
é a curva no plano projetivo
P
R
2
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{2}}
sobre os números reais
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
definida pela equação
x
y
2
= 7
z
3
{\displaystyle xy^{2}=7z^{3}}
, então
X
C
{\displaystyle X_{\mathbb {C} }}
é a curva complexa em
P
C
2
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}
definida pela mesma equação. Muitas propriedades de uma variedade algébrica sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
podem ser definidas em termos de sua mudança de base para o fecho algébrico de
k
{\displaystyle k}
, o que torna a situação mais simples. Seja
f : X → Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
um morfismo de esquemas, e seja
y
{\displaystyle y}
um ponto em
Y
{\displaystyle Y}
. Então existe um morfismo
Spec ( k ( y ) ) → Y
{\displaystyle \operatorname {Spec} (k(y))\to Y}
com imagem
y
{\displaystyle y}
, onde
k ( y )
{\displaystyle k(y)}
é o corpo residual de
y
{\displaystyle y}
. A fibra de
f
{\displaystyle f}
sobre
y
{\displaystyle y}
é definida como o produto fibrado
X
×
Y
Spec ( k ( y ) )
{\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} (k(y))}
; este é um esquema sobre o corpo
k ( y )
{\displaystyle k(y)}
. Este conceito ajuda a justificar a ideia geral de um morfismo de esquemas
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
como uma família de esquemas parametrizada por
Y
{\displaystyle Y}
. Sejam
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
e
Z
{\displaystyle Z}
esquemas sobre um corpo
k
{\displaystyle k}
, com morfismos
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
e
Z → Y
{\displaystyle Z\to Y}
sobre
k
{\displaystyle k}
. Então o conjunto de pontos racionais sobre
k
{\displaystyle k}
do produto fibrado
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
é fácil de descrever:
( X
×
Y
Z ) ( k ) = X ( k )
×
Y ( k )
Z ( k ) .
{\displaystyle (X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k).}
Ou seja, um
k
{\displaystyle k}
-ponto de
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
pode ser identificado com um par de
k
{\displaystyle k}
-pontos de
X
{\displaystyle X}
e
Z
{\displaystyle Z}
que têm a mesma imagem em
Y
{\displaystyle Y}
. Isso decorre imediatamente da propriedade universal do produto fibrado de esquemas. Se
X
{\displaystyle X}
e
Z
{\displaystyle Z}
são subesquemas fechados de um esquema
Y
{\displaystyle Y}
, então o produto fibrado
X
×
Y
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z}
é exatamente a interseção teórica de esquemas
X ∩ Z
{\displaystyle X\cap Z}
, com sua estrutura natural de esquema. O mesmo vale para subesquemas abertos.
Mudança de base e descida Algumas propriedades importantes P dos morfismos de esquemas são preservadas sob mudança de base arbitrária. Ou seja, se
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
tem a propriedade P e
Z → Y
{\displaystyle Z\to Y}
é qualquer morfismo de esquemas, então a mudança de base
X
×
Y
Z → Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
tem a propriedade P. Por exemplo, morfismos planos, morfismos suaves, morfismos próprios e muitas outras classes de morfismos são preservadas sob mudança de base arbitrária. A palavra descida (descent) refere-se à questão inversa: se o morfismo puxado de volta (pullback)
X
×
Y
Z → Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
possui alguma propriedade P, o morfismo original
X → Y
{\displaystyle X\to Y}
deve ter a propriedade P? Claramente, isso é impossível em geral: por exemplo,
Z
{\displaystyle Z}
poderia ser o esquema vazio, caso em que o morfismo de imagem inversa perde todas as informações sobre o morfismo original. Mas se o morfismo
Z → Y
{\displaystyle Z\to Y}
for plano e sobrejetivo (também chamado de fielmente plano) e quase-compacto, então muitas propriedades de fato descendem de
Z
{\displaystyle Z}
para
Y
{\displaystyle Y}
. As propriedades que descendem incluem planura, suavidade, propriedade (ser próprio) e muitas outras classes de morfismos. Esses resultados formam parte da teoria de descida fielmente plana de Grothendieck. Exemplo: para qualquer extensão de corpo
k ⊂ E
{\displaystyle k\subset E}
, o morfismo
Spec ( E ) → Spec ( k )
{\displaystyle \operatorname {Spec} (E)\to \operatorname {Spec} (k)}
é fielmente plano e quase-compacto. Portanto, os resultados de descida mencionados implicam que um esquema
X
{\displaystyle X}
sobre
k
{\displaystyle k}
é suave sobre
k
{\displaystyle k}
se e somente se a mudança de base
X
E
{\displaystyle X_{E}}
for suave sobre
E
{\displaystyle E}
. O mesmo se aplica a morfismos próprios e a muitas outras propriedades.
Referências
Veja também Esquema (matemática) Alexander Grothendieck